Om du någonsin har läst avancerade läroböcker eller papper om elektronik, kan du ha blivit förvånad över att se användningen av komplexa nummer som används vid analys av AC-kretsar. Ett komplext tal har två delar: en verklig del och en imaginär del. Jag har ofta trodde att många böcker och klasser bara typ av glans över vad det verkligen betyder. Vilken del av elkraft är imaginär? Varför gör vi det här?
Det korta svaret är fasvinkel: tidsfördröjningen mellan en spänning och en ström i en krets. Hur kan en vinkel vara en tid? Det är en del av vad jag behöver förklara.
Först, överväga ett motstånd. Om du tillämpar en spänning på den, kommer en viss ström att flyta att du kan identifiera med OHMs lag. Om du känner till den omedelbara spänningen över motståndet kan du härleda strömmen och du kan hitta den kraft – hur mycket arbete som elkraft kommer att göra. Det är bra för DC-ström genom motstånd. Men komponenter som kondensatorer och induktorer med en växelström följer inte Ohms lag. Ta en kondensator. Strömmen strömmar bara när kondensatorn laddas eller släpper ut, så strömmen genom den avser hastigheten av förändring av spänningen, inte den omedelbara spänningsnivån.
Det innebär att om du plottar den sinusvågspänningen mot strömmen, kommer spänningen att vara där strömmen är minimal och toppströmmen kommer att vara där spänningen är noll. Du kan se det i den här bilden, där den gula vågen är spänning (V) och den gröna vågen är ström (i). Se hur den gröna toppen är där den gula kurvan korsar noll? Och den gula toppen är där den gröna kurvan korsar noll?
Dessa länkade sinus- och cosinusvågor kan påminna dig om något – x- och y-koordinaterna för en punkt som sveps runt en cirkel med en konstant takt, och det är vår anslutning till komplexa tal. Vid slutet av posten ser du inte allt som komplicerat och den “imaginära” kvantiteten är inte imaginär alls.
Förenkling av antaganden
Börja med en ljudsignal av någon som talar och matar det i din krets. Det är överflödigt med olika frekvenser som förändras ständigt. Om du hade en krets med bara motstånd i det, kan du välja en tidpunkt, hitta alla frekvenskomponenter närvarande eller den omedelbara amplituden, härleda de omedelbara strömmarna, och du kan använda konventionella tekniker på den. Du måste bara göra det om och om och om igen. Om kretsen involverar induktorer eller kondensatorer, vars beteende beror på mycket mer än bara spänningen över dem, blir det mycket utmanande mycket snabbt.
Istället är det enklare att börja med en sinusvåg i en enda frekvens och anta att en komplex signal med många olika frekvenser är bara summan av många singlar. Ett sätt att tänka på en kondensator är att överväga det ett motstånd som har högre motstånd vid lägre frekvenser. En induktor fungerar som ett motstånd som blir större vid högre frekvenser. Eftersom vi bara överväger en enda frekvens kan vi konvertera eventuella kapacitans- och induktansvärden till en impedans: ett motstånd som bara är bra vid frekvensen av intresse. Vad som är mycket mer är att vi kan representera impedans som ett komplext tal så att vi kan spåra kretsens fasvinkel, som direkt hänför sig till en viss tidsfördröjning mellan spänning och ström.
För ett riktigt motstånd är den imaginära delen 0. Det är meningsfullt eftersom spänningen och strömmen är i fas och därför finns det ingen tidsfördröjning alls. För en ren kondensator eller induktor är den verkliga delen noll. Verkliga kretsar kommer att ha kombinationer och därmed kommer att ha en kombination av verkliga och imaginära delar. Nummer som är komplexa nummer och du kan skriva dem på flera olika sätt.
Komplex recension
Det första att komma ihåg är att ordet imaginärt är bara en godtycklig term. Kanske är det bättre att glömma det normala som det är imaginärt. Dessa imaginära kvantiteter är inte någon form av magisk el eller motstånd. Vi använder imaginära nummer för att representera tidsfördröjningar i kretsar. Det är allt.
Det finns en lång historia om vilka imaginära tal som innebär i ren matematik och varför de kallas imaginära. Du kan se upp det om du är ett mattehuvud, men du borde veta att matematiska böcker använder symbolen jag för den imaginära delen av ett komplext nummer. Men eftersom elektrotekniker använder I för nuvarande, använder vi J istället. Du måste bara komma ihåg när du läser matematiska böcker, så du ser jag och det är inte en aktuell, och det är detsamma som J i elektriska böcker.
Det finns flera sätt att representera ett komplext tal. Det enklaste sättet är att skriva den verkliga delen och den imaginära delen som läggs ihop tillsammans med j. Så överväga detta:
5 + 3j
We say the real part is 5 and the imaginary part is 3. Numbers written in this form are in rectangular format. You can plot it on the number lines like this:
That leads to the second way to write a complex number: polar notation. If the point on the graph is 5 + 3j, you can note that a vector can represent the sajag pekar. Det kommer att ha en längd eller en storlek och en vinkel (den vinkel det gör med grafens x-axel). I detta fall är storleken 5,83 (ungefär) och vinkeln är bara lite under 31 grader.
Det här är intressant eftersom det är en vektor och det finns många bra matematiska verktyg för att manipulera vektorer. Det kommer att bli riktigt viktigt om en minut eftersom vinkeln kan motsvara en fasvinkel i en krets och storleken har ett direkt fysiskt förhållande.
Fasvinkel
Kom ihåg att jag sa att vi gör en AC-analys i en enda frekvens? Om du plottar växelspänningen över och strömmen går igenom ett motstånd vid någon frekvens, kommer de två sinusvågorna att ställa upp exakt. Det beror på att ett motstånd inte dröjer något. Vi skulle säga att fasvinkeln över motståndet är noll grader.
Men för en kondensator kommer strömmen att stiga före spänningen med någon tid. Detta är meningsfullt om du tänker på din intuition om kondensatorer vid DC. När en kondensator är urladdat, har den ingen spänning över den, men det kommer att konsumera mycket ström – det ser tillfälligt ut som en kortslutning. När laddningen bygger, stiger spänningen men de aktuella dropparna tills kondensatorn är fulladdat. Vid den tiden är spänningen högst, men strömmen är noll, eller nästan så.
Induktorer har motsatt arrangemang: spänningsledare ström, så kurvorna skulle se ut, men v Curve är nu I och I-kurvan är nu V. Du kan komma ihåg det med den lätta mnemoniska Eli-isen, där E är Spänningen precis som i Ohms lag. När du pratar om fasskift i en krets, innebär du verkligen hur mycket strömmen leder eller lagrar spänningen vid en given frekvens. Det är en viktig idé: fasskift eller vinkel är den tid som den nuvarande ledarna eller lagrar spänningen. Du kan också mäta fasen mellan andra saker som två olika spänningskällor, men typiskt när du säger “den här kretsen har en fasskifte på 22 grader”, menar spänningen vs den aktuella tidsfördröjningen.
Tänk på att en sinusvåg är som en cirkel böjd för att passa en linje. Så om början av sinusvågen är klockan 0 grader, är toppen av den positiva toppen 90 grader. Den andra 0 korsningen är 180 grader, och den negativa toppen är 270 grader, precis som punkterna på en cirkel. Eftersom sinusvågen är i en fast frekvens, är det lika med något som uttrycker en tid.
I fallet med ett motstånd är skiftet 0 grader. Så i komplex notering är ett 100 ohm motstånd 100 + 0J. Det kan också vara 100∠0. För en kondensator stiger strömmen före spänningen med 90 grader, så en kondensator har ett fasskifte av -90. Men vad är storleken?
Du lärde dig förmodligen att den kapacitiva reaktansen är lika med 1 / (2πfc) där f är frekvensen i Hz. Det är storleken på den polära formen. Naturligtvis, eftersom -90 grader är rakt ner numreringslinjen, är det också den imaginära delen av den rektangulära formen (och den verkliga delen är noll). Om kapacitiv reaktans (XC) är lika med 50, till exempel, så kan du skriva 0-50J eller 50∠-90. Induktorer arbetar samma men reaktansen (XL) är 2πFL och fasvinkeln är 90 grader. Så en induktor med samma reaktans skulle vara 0 + 50J eller 50∠90.
Hitta strömmen
Låt oss titta på ett snabbt exempel på vad dessa fasvinklar är bra för: beräkning av ström. Du vet att strömmen är spänningstider ström. Så om en kondensator har 1 v över den (topp) och drar 1 A genom det (topp), är effekten 1 watt? Nej, eftersom det inte drar 1 v på 1 A samtidigt.
Tänk på denna simulering (se figur till höger). Du kan se spåren till vänster visar 90 gradersfasskiftet mycket tydligt (det gröna spåret är spänning och den gula är aktuell). Den övre spänningen är 1,85 V och de aktuella topparna vid ca 4,65 mA. Produkten av spänningstiden är strömmen 8,6 MW. Men det är inte det bästa svaret. Kraften är faktiskt 4,29 MW (se grafen till höger). I en idealisk kondensator konsumeras inte kraften. Den är lagrad och släpps, varför kraften går negativ. Real kondensatorer, naturligtvis, uppvisar viss förlust.
Observera att strömförsörjningen inte erbjuder 4,29 MW, men mycket mindre. Det beror på att motståndet är det enda som konsumerar kraft. Spänningen och strömmen är i fas för den och en del av kraften som den släpper ut kommer från kondensatorns lagrade laddning.
Kretsar
Storleken på vektorn är användbar i OHMs lag. Till exempel, vid 40 Hz, är XC i exempletretsen knappt 400 ohm. Så den totala komplexa impedansen för RC-kretsen är 1000 – 400J.
Om du är adept med vektorer kan du göra Polar genom att skriva 1000∠0 + 400∠-90. Det är dock typiskt enklare att skriva den rektangulära versionen och konvertera till Polar (Wolfram Alpha är bra på det; Kom bara ihåg att använda jag istället för j). Storleken är bara den pythagoreanska teormen och vinkeln är lätt trig. Jag kommer inte att gå in i den, men här är den formel där R och J är de verkliga och imaginära delarna.
mag = sqrt (r^ 2 + j ^ 2)
Fas = Arctan (J / R)
Vårt exempel är då 1077∠-21,8.
Så vad kommer kraften ut ur spänningskällan? Effekten är E ^ 2 / R (eller, faktiskt, e ^ 2 / z i det här fallet). Så 25/1077 = 23 MW topp. Simuleringen visar 22,29 och eftersom jag rundade några värden, så är det tillräckligt nära.
Det är allt?
Det är förstås inte, men det är allt du behöver veta för många ändamål. Många hobby-nivå elektroniska texter skimp på detaljerna och bara arbeta med magnituder. För enkla kretsar kan det fungera, men för något komplex (ingen ordspeng) blir det hårigt snabbt.
Förresten visade detta exempel till element i serie. Men du kan lägga till reaktances parallellt precis som du gör motstånd parallellt.
De väsentliga koncepten du behöver komma ihåg är:
Analysen av en nätkrets uppträder mestadels i en enda frekvens med en sinusvågingång.
Imaginära tal är inte imaginära.
Magnituder av komplexa tal i polära former kan behandlas som ett motstånd.
Fasvinkel är tidsfördröjningen mellan spänningen och den aktuella vågformen.
Det finns många detaljer jag glanserade över. Du behöver nog inte veta hur jag verkligen är kvadratroten av negativ. Eller hur Eulers nummer spelar i detta och enkelheten att integrera och differentiera sinusvågor skrivna med en amplitud och en fasvinkel. Om du är intresserad av matematikhistoria har imaginära tal en hel historia bakom dem. Om du vill ha något mycket mer praktiskt, har Khan Academy några hjälpsamma videor. Men vad som är täckt bör du vara allt du behöver veta för att arbeta med AC-kretsar.